Emisja termiczna ciała doskonale czarnego

Zachodzi, gdy $\tau\rightarrow \infty$. Wtedy z równania transferu mamy zależność $I_\nu=B_\nu(T)$. Głównie obserwuje się w bliskich obiektach jak w obrębie Układu Słonecznego.
 
Ogólna zależność - prawo Plancka

$$B_\nu = \frac{2h\nu^3}{c^2} \frac{1}{exp\left( {\frac{h\nu}{kT}}\right) - 1}$$

Jednostka: $[W~m^{-2}sr^{-1}Hz^{-1}]$
$B_\nu$ - jasność widmowa (spectral brightness) czy natężenie widmowe ($I_\nu$)
k - stała Boltzmanna (k = $1.38\cdot10^{-23}~J~K^{-1}$)

Przybliżenie stosowane generalnie (wyjątek: CMB) w radioastronomii (dla $h\nu <<kT$) - prawo Rayleigha-Jeansa:

$$B_\nu = \frac{2k T \nu^2}{c^2}$$

$$S_\nu = \int_{source} B_\nu (\theta, \phi) cos\theta d\Omega$$

Dla źródła dyskretnego przybliżenie:

$$S_\nu = \int_{source} \frac{2k T \nu^2}{c^2}d\Omega$$

  
  

   Innym rodzajem promieniowania, związanym z ciałem doskonale czarnym jest termiczna emisja od pyłu. Wzór na temperaturę jasnościową obiektu (same cząstki są bardzo małe):

$$T_b(\nu)=T_0\left( { \frac{1}{e^{T_0/T_{dust}}-1}- \frac{1}{e^{T_0/2.7}-1}}\right) \left({1-e^{-\tau_{dust}} } \right)$$

$T_0=h\nu/k$
$T_{dust}$ - temperatura pyłu, $[K]$
 
Zazwyczaj jednak można pominąć człon związany z tłem reliktowym i wyrazić temperaturę wzorem:

$$T_b(\nu)=T_0\left( { \frac{1}{e^{T_0/T_{dust}}-1}}\right) \left({1-e^{-\tau_{dust}} } \right)$$

Zależność między grubością optyczną została wyprowadzona empirycznie. Wiąże się to z problemem określenia rozmiarów cząstek promieniujących, a dokładniej powierzchni ziaren. Dla $\lambda>100~\mu m$ można ją wyrazić wzorem:

$$\tau_{dust}=7\cdot 10^{-21}\frac{Z}{Z_\odot}bN_H \lambda^{-2}$$

$\lambda$ - długość fali, $[\mu m]$
$N_H$ - gęstość kolumnowa, $[cm^{-2}]$
$Z/Z_\odot$ - stosunek metaliczności obiektu do metaliczności Słońca
$b$ - parametr określający rozmiary ziaren (szacunkowo od 1.9 dla średniej gęstości gazu do 3.4 dla gęstego gazu)
 
Stąd strumień w przybliżeniu Rayleigh'a-Jeans'a:

$$S=\frac{2kT_b}{\lambda^2}$$

 
W ośrodku optycznie cienkim oznacza to, że:

$$S=\frac{2kT_b}{\lambda^2} \simeq \frac{2k T_{dust} \tau_{dust}}{\lambda^2} \sim\lambda^{-4}$$

Jest to ważny wkład do promieniowania na wysokich częstotliwościach. Szacuje się, że gaz o temperaturze 100 K do 30 K stanowi większość masy naszej Galaktyki. W mgławicach planetarnych, gdzie temperatura pyłu wynosi średnio 100 K, jest to dominująca emisja od około 100 GHz.
 
Widmo promieniowania reliktowego oraz pyłu w przestrzeni międzygwiazdowej: