Relatywistyczna zmiana parametrów

a) Dla źródeł pozagalaktycznych należy wziąć poprawkę na to, że źródło porusza się z relatywistyczną prędkością względem obserwatora i obserwowana prędkość może być nawet kilkakrotnie większa niż prędkość światła (superluminal velocities). Do tego dla źródeł rozciągłych np. 2 jetów każdy z jetów ma do pokonania inną drogę do obserwatora i może mieć różne prędkości.
 
Obserwowana prędkość np. jetów (dokładnie V/c) wynosi:

$$\beta_\perp = \frac{\beta sin\theta}{1-\beta cos\theta}$$

$\theta$ - kąt między prostą obserwator - źródło, a kierunkiem prędkości np. jetów
 
Dla określonego $\beta$ kąt przy którym obserwuje się maksymalną wartość obserwowanego $\beta_\perp$:

$$\beta = cos\theta$$

$$\beta_\perp =\frac{\beta}{(1-\beta^2)^{1/2}}$$

 
Zjawisko widziane na obserwowanej częstotliwości:

$$\nu = \nu_0 \delta$$

$\nu_0$ - wyemitowana częstotliwość
$\delta$ - czynnik Dopplera
 
Gdzie czynnik Dopplera wynosi:

$$\delta = \frac{1}{\gamma(1-\beta cos\theta)}$$

$\theta$ - kąt między prostą obserwator - źródło, a kierunkiem prędkości Przykłady:
Największy czynnik Dopplera ($\theta=0$ czyli ruch na obserwatora): $\delta = 2\gamma$
Najmniejszy czynnik Dopplera ( $\theta=180^o$): $\delta = 1/(2\gamma)$
 
b) Obserwowany strumień:
Wpływ na strumień przy izotropowej emisji zależy od modelu, ale wiadomo, że leży w zakresie:

$$\delta^{2+\alpha}< \frac{S}{S_0} < \delta^{3+\alpha}$$

$\alpha = -dlog(S)/dlog(\nu)$ - (negatywny) indeks spektralny
$\delta>1$ - wzmocnienie
$\delta<1$ - osłabienie
 
Zazwyczaj wystarczy przybliżenie:

$$S=S_0(1+z)^{-(3+\alpha)}$$

 
c) Obserwowany rozmiar kątowy:

$$\theta = \frac{l}{d_A}$$

$l$ - liniowa średnica źródła
$d_A$ - kątowa średnica-odległość (angular diameter distance)

$$d_A=\frac{D_L}{(1+z)^2}$$

$D_L$ - odległość jasnościowa ( $M=m-5log(D_L -1)$)
 
d) Dla źródeł pozagalaktycznych relatywistyczna transformacja czasu:

$$t_s = \frac{t_0}{1+z}$$

$t_s$ - czas związany z układem źródła
$t_0$ - czas obserwowany
 
e) Oszacowanie min. temperatury jasnościowej (zał. zaniedbanie ruchów własnych i związany z nim efekt Dopplera) - podstawienie do wzoru na $T_b$ przy danym rozmiarze źródła:

$$T_b = (4.5\cdot10^{10}~K)~S~\left( {\frac{\lambda d}{t_0 (1+z)}} \right) ^2$$

$d$ - odległość do obiektu, $[Mpc]$
$\lambda$ - długość fali, $[cm]$
$S$ - gęstość strumienia, $[Jy]$
 
f) Inne relatywistyczne poprawki:
Wielkości obserwowane (z apostrofem wielkości w układzie źródła):
- kąt sferyczny: $d\Omega = \delta^{-2}d\Omega'$
- odcinek czasu: $\Delta t = \delta^{-1} \Delta t'$
- częstotliwość: $\Delta \nu = \delta \Delta \nu'$
- gęstość strumienia: $S(\nu) = \delta^3 S'(\nu') = \delta^{3+\alpha}S'(\nu)$
- moc: $P=P'$
- składowa || przyśpieszenia: $a_{\vert\vert}=\gamma^{-3}a'_{\vert\vert}$
- składowa $\bot$ przyspieszenia: $a_{\bot}=\gamma^{-2}a'_{\bot}$